Frequentista vs Statistica Bayesiana in Data Science

Frequentista vs Statistica Bayesiana in Data Science

Introduzione

L’analisi statistica svolge un ruolo cruciale nel campo in rapido sviluppo della data science, consentendo ai ricercatori di ottenere conoscenze approfondite dai dati. Tuttavia, il disaccordo tra i metodi bayesiani e frequentisti è sempre stato presente. Queste due strategie incarnano mentalità e procedure diverse, ognuna offrendo vantaggi e svantaggi unici. Questo articolo confronta le statistiche frequentiste vs bayesiane, mettendo in luce le loro idee fondamentali, i principali test impiegati e le variabili chiave da considerare nella scelta tra di esse.

Frequentisti vs Bayesiani: Panoramica

Aspetto	Approccio frequentista	Approccio bayesiano
Interpretazione della probabilità	Oggettiva: le probabilità rappresentano frequenze a lungo termine o comportamenti limite di esperimenti ripetuti.	Soggettiva: le probabilità rappresentano gradi di credenza o incertezza basati su conoscenze precedenti e dati.
Trattamento dei parametri	Fissi: i parametri sono costanti sconosciute. La stima consiste nel trovare la “migliore” stima basata sui dati.	Casuali: i parametri sono trattati come variabili casuali con le proprie distribuzioni di probabilità. Vengono aggiornati sulla base delle credenze precedenti e dei dati, dando luogo a distribuzioni posteriori.
Informazioni precedenti	N/D: Di solito le informazioni precedenti non vengono esplicitamente incorporate nell’analisi.	Cruciali: l’analisi bayesiana implica la specificazione di distribuzioni precedenti che rappresentano le credenze precedenti sui parametri prima dell’osservazione dei dati.
Approccio all’inferenza	Test di ipotesi: coinvolge i valori p e le regioni di rifiuto.	Intervalli credibili: coinvolge intervalli credibili per stimare i valori dei parametri con probabilità specificate.
Gestione dell’incertezza	Stime puntuali: stime puntuali (ad esempio, media campionaria) con incertezze associate (ad esempio, intervalli di confidenza).	Distribuzioni di probabilità: distribuzioni posteriori che modellano direttamente l’incertezza delle stime dei parametri.
Requisiti di dimensione del campione	Campione grande: spesso richiede una grande dimensione del campione per una stima accurata dei parametri.	Campione più piccolo: i metodi bayesiani possono fornire stime ragionevoli anche con dimensioni del campione più piccole, soprattutto con precedenti informati.
Complessità computazionale	Più semplice: spesso coinvolge formule dirette per la stima dei parametri (ad esempio, massima verosimiglianza).	Più complesso: richiede metodi numerici come MCMC per la stima posteriore, soprattutto per modelli complessi.
Test di ipotesi	I valori p e i test di ipotesi sono soggetti a interpretazioni errate e controversie.	Il test di ipotesi bayesiano utilizza i fattori di Bayes o le probabilità posteriori per un confronto diretto.
Selezione del modello	Si basa su criteri come AIC o BIC.	Confronto dei modelli utilizzando le probabilità posteriori del modello (fattori di Bayes) o le verosimiglianze marginali.
Interpretazione dei risultati	Concentrata sui dati e sugli effetti osservati.	I risultati vengono interpretati nel contesto delle credenze precedenti e del loro aggiornamento basato sui dati.

Esaminiamo meglio i loro principi fondamentali per comprendere meglio le disparità tra le statistiche frequentiste e bayesiane.

Cosa sono le statistiche frequentiste?

Le statistiche frequentiste, o statistiche classiche, si concentrano sull’effettuare inferenze sui parametri di popolazione basandosi esclusivamente sui dati osservati. Questo approccio assume che la probabilità rifletta la frequenza a lungo termine degli eventi che si verificano in esperimenti ripetuti. Nelle statistiche frequentiste, i dati sono come un campione casuale da una popolazione sottostante, e l’obiettivo è stimare parametri sconosciuti o testare ipotesi su di essi.

La Visione frequentista

Il metodo di statistica frequentista si concentra sull’analisi dei dati che considera solo frequenze osservate e metodi di campionamento. Secondo questa prospettiva, la probabilità si riferisce alla frequenza degli eventi che si verificano in studi ripetuti nel tempo.

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I frequentisti utilizzano i valori p per determinare la forza delle prove contro un’ipotesi nulla invece di assegnare probabilità alle ipotesi stesse. Sottolineano fortemente l’importanza dei dati osservabili e tralasciano le ipotesi precedenti o le conoscenze soggettive dalla loro analisi.

Quali sono i principali test utilizzati dai frequentisti?

La statistica frequentista utilizza una serie di test per trarre conclusioni e fare inferenze dai dati osservati. Questi test analizzano diversi aspetti dei dati e valutano le relazioni tra le variabili. Ecco alcuni dei principali test:

Test T

Definizione: I test T determinano se le medie di due gruppi differiscono in modo statisticamente significativo.

Applicazione: Questo test è ampiamente utilizzato in studi sperimentali o scenari di test A/B per verificare se una terapia o un intervento ha un impatto significativo rispetto a un gruppo di controllo.

Test del Chi-quadro

Definizione: I test del Chi-quadro valutano l’indipendenza tra variabili categoriche in una tabella di contingenza.

Applicazione: È ampiamente utilizzato per esaminare la relazione tra due variabili categoriche, analizzare i risultati di un sondaggio o determinare se una particolare caratteristica influisce in modo significativo sul risultato.

Analisi della varianza (ANOVA)

Definizione: L’ANOVA viene utilizzato per confrontare le differenze di media tra diversi gruppi.

Applicazione: Questo test è particolarmente utile per confrontare le medie tra tre o più gruppi, come nei disegni sperimentali con diversi gruppi di trattamento o quando si indaga l’impatto di variabili categoriche su un risultato continuo.

Analisi di regressione

Definizione: L’analisi di regressione valuta le relazioni tra le variabili, in particolare tra la variabile dipendente e una o più variabili indipendenti.

Applicazione: Questo test è comunemente utilizzato in un contesto di regressione lineare o logistica per analizzare l’impatto di fattori indipendenti su un risultato continuo, prevedere valori futuri e trovare predittori rilevanti.

Vantaggi e svantaggi dell’utilizzo della statistica frequentista

Vantaggi della statistica frequentista

• Semplicità: I metodi frequentisti sono spesso più facili da capire e applicare, rendendoli accessibili a molti utenti.
• Teoria ben stabilita: La statistica frequentista ha una solida base teorica, proprietà ben definite e una vasta letteratura.
• Enfasi sui dati osservati: La statistica frequentista si concentra sui dati e non richiede conoscenze o credenze precedenti.

Svantaggi della statistica frequentista

• Mancanza di flessibilità: I metodi frequentisti possono essere limitati quando si lavora con campioni di piccole dimensioni o problemi complessi che richiedono informazioni precedenti.
• Reliance sui valori di p: L’uso dei valori di p per il test di ipotesi è stato criticato per la confusione e l’enfasi sulla significatività statistica anziché sulla significatività pratica.
• Mancanza di quantificazione dell’incertezza: La statistica frequentista fornisce spesso stime puntuali e intervalli di confidenza ma non la probabilità che un parametro cada entro un certo intervallo.

Cosa sono le statistiche bayesiane?

Le statistiche bayesiane adottano un approccio diverso, incorporando credenze precedenti e aggiornandole con i dati osservati per ottenere distribuzioni posteriori. In questo framework, la probabilità rappresenta gradi soggettivi di credenza anziché frequenze a lungo termine. Le statistiche bayesiane forniscono un meccanismo formale per aggiornare le conoscenze precedenti e quantificare l’incertezza in modo coerente.

Cos’è il teorema di Bayes?

Il teorema di Bayes, chiamato così in onore del reverendo Thomas Bayes, è al centro delle statistiche bayesiane. Offre un quadro matematico per rivedere le idee precedenti di fronte a nuovi dati. Ecco il famoso teorema di Bayes:

P(H|D) =(P(D|H) P(H))P(D)

Dove:

• P(H|D) è la probabilità a posteriori dell’ipotesi H, dati i dati D
• P(D|H) è la probabilità di osservare i dati D dato l’ipotesi H
• P(H) è la probabilità a priori dell’ipotesi H
• P(D) è la probabilità di osservare i dati D

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Quali sono i principali test che utilizzano i Bayesiani?

Gli statistici Bayesiani analizzano i dati utilizzando una varietà di test e metodologie all’interno del quadro delle statistiche bayesiane. Questi metodi offrono un approccio versatile e coerente all’inferenza statistica. Questi sono i test bayesiani più comuni:

Test di ipotesi bayesiani

I bayesiani utilizzano i fattori di Bayes per confrontare la forza delle prove per diverse ipotesi. I fattori di Bayes quantificano la probabilità relativa dei dati osservati sotto diverse ipotesi, consentendo di valutare quale ipotesi è supportata dai dati.

Metodi di catena di Markov Monte Carlo (MCMC)

• I metodi MCMC svolgono un ruolo cruciale nelle statistiche bayesiane poiché consentono il campionamento da distribuzioni posteriori complesse.
• Queste tecniche generano una sequenza di campioni dalla distribuzione posteriore, consentendo l’inferenza e l’estimazione dei parametri di interesse.

Regressione bayesiana

• La regressione bayesiana offre un quadro flessibile per modellare le relazioni tra le variabili. Consente di incorporare informazioni precedenti, la quantificazione dell’incertezza e l’estimazione delle distribuzioni posteriori per i coefficienti di regressione.
• Questo approccio fornisce una comprensione più completa della relazione tra le variabili rispetto ai metodi di regressione frequentista tradizionali.

Modelli gerarchici

• I bayesiani spesso utilizzano modelli gerarchici per tener conto della variabilità tra diversi livelli di dati.
• I modelli gerarchici catturano il concetto di utilizzare l’informazione del gruppo per stimare i parametri a livello individuale.

Teoria delle decisioni bayesiane

• La teoria delle decisioni bayesiane combina l’inferenza statistica con la presa di decisioni. Incorpora i costi e i benefici di diverse azioni e utilizza le probabilità posteriori per determinare le decisioni ottimali in presenza di incertezza.
• Questo metodo è utile in domini come la diagnostica medica, dove le decisioni devono essere prese basandosi su dati non chiari.

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Vantaggi e svantaggi dell’utilizzo delle statistiche bayesiane

Vantaggi delle statistiche bayesiane

• Incorporazione di conoscenze precedenti: le statistiche bayesiane consentono di integrare le credenze precedenti e le conoscenze degli esperti, rendendole utili quando si lavora con dati limitati.
• Quantificazione coerente dell’incertezza: i metodi bayesiani forniscono distribuzioni posteriori, consentendo di stimare direttamente la probabilità che un parametro cada in un intervallo specifico.
• Flessibilità: le statistiche bayesiane possono gestire problemi complessi e campioni di piccole dimensioni, adattandosi a diverse ipotesi di modellazione.

Svantaggi delle statistiche bayesiane

• Complessità computazionale: gli approcci bayesiani possono richiedere risorse computazionali elevate quando si lavora con grandi quantità di dati o modelli complessi.
• Soggettività nella specifica delle precedenze: la scelta delle precedenze può influenzare i risultati e la specifica soggettiva delle precedenze può introdurre un bias.
• Pendenza dell’apprendimento: le statistiche bayesiane richiedono spesso una comprensione più approfondita della teoria delle probabilità e dei metodi computazionali rispetto alle statistiche frequentiste.

Frequentista vs Bayesiano: quale scegliere?

Non esiste una soluzione valida per tutti per decidere tra statistiche frequentiste e bayesiane. La scelta viene effettuata alla luce di diversi fattori, tra cui la natura del problema, le informazioni disponibili, eventuali conoscenze pregresse e l’interpretazione desiderata dei risultati. Esaminiamo i fattori da tenere in considerazione nella scelta di una strategia adeguata:

• Risorse disponibili: i metodi bayesiani spesso richiedono più risorse computazionali e software specializzati rispetto agli approcci frequentisti.
• Conoscenze e credenze precedenti: le statistica bayesiana può essere preferita se sono disponibili informazioni precedenti o se le conoscenze degli esperti sono cruciali.
• Interpretazione dell’incertezza: le statistiche bayesiane quantificano direttamente l’incertezza utilizzando le distribuzioni posteriori, mentre le statistiche frequentiste si basano sugli intervalli di confidenza.
• Norme della comunità scientifica: I diversi settori hanno preferenze e convenzioni riguardanti le statistiche frequentiste o bayesiane.

Frequentista vs Bayesiana: è possibile utilizzare entrambe?

Entrambe le metodologie frequentiste e bayesiane possono essere applicate nei workflow di data science del mondo reale. I vantaggi di entrambi i paradigmi possono essere tratti da tecniche ibride, come modelli gerarchici bayesiani con test di ipotesi frequentista.

Tuttavia, è necessario fare attenzione su come interpretare e incorporare i risultati ottenuti da approcci diversi.

Frequentista vs Bayesiana: Esempio

Esempio: Calcolare la probabilità di ottenere testa in un lancio di moneta

• Approccio frequentista: La probabilità di ottenere testa in un lancio di moneta viene calcolata sulla base dei dati osservati. Se lanciamo la moneta 100 volte e otteniamo 60 teste, la probabilità frequentista sarebbe 60100=0,6
• Approccio bayesiano: La probabilità di ottenere testa in un lancio di moneta viene calcolata incorporando le credenze precedenti e aggiornandole con i dati osservati. Supponendo una probabilità precedente del 0,5 (che rappresenta una moneta equa), dopo aver osservato 60 teste su 100 lanci, il bayesiano aggiornerà le sue credenze per calcolare la probabilità posteriore sulla base della distribuzione precedente scelta e dei dati osservati.

La verosimiglianza sarebbe calcolata come segue:

P(B|A) = (100 scegli 60) (0,5)60 (0,5)100-60

Dove, (100 scegli 60) è il coefficiente binomiale e (0,5)60 (0,5)100-60 rappresenta la probabilità di ottenere esattamente 60 teste.

Inserendo la probabilità precedente (0,5) e questa verosimiglianza nel teorema di Bayes, possiamo calcolare la probabilità posteriore di ottenere testa in un lancio di moneta.

Conclusioni

Le statistiche frequentiste e bayesiane offrono approcci distinti all’analisi statistica nella data science. I metodi frequentisti si concentrano sui dati osservati e sulle frequenze a lungo termine, fornendo tecniche dirette di stima e di test di ipotesi. D’altra parte, gli approcci bayesiani considerano le assunzioni precedenti e quantificano l’incertezza utilizzando le distribuzioni posteriori. Il compito in questione, i dati a disposizione e l’interpretazione desiderata dei risultati influenzano la scelta tra le due opzioni. Sebbene ognuna abbia vantaggi e svantaggi, è fondamentale selezionare la strategia che meglio si adatta alle specifiche esigenze dell’analisi.

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