Le prove assistite dal computer affrontano il flusso di fluidi

Computer-assisted tests address fluid flow

I ricercatori hanno da tempo risolto numericamente le equazioni differenziali parziali che governano importanti fenomeni fluidi come il meteo, i plasmi di fusione e l’aerodinamica. Naturalmente, l’accuratezza dei risultati è sempre limitata dalla precisione finita e dalla risoluzione spaziale delle rappresentazioni delle equazioni su computer.

I computer sono diventati anche uno strumento potente per la matematica esatta e rigorosa. Ad esempio, gli assistenti di prova aumentano la fiducia che un argomento logico sia valido e che tutti i casi siano stati considerati. I programmi possono esaminare instancabilmente librerie di combinazioni estremamente grandi, come quelle alla base della dimostrazione del teorema dei quattro colori nel 1976.

Ciò che sembra sorprendente, tuttavia, è che i ricercatori abbiano utilizzato calcoli numerici per dimostrare in modo rigoroso affermazioni controverse sulle soluzioni delle equazioni dei fluidi. In particolare, i ricercatori hanno recentemente dimostrato che le equazioni sviluppate da Leonhard Euler per descrivere il flusso dei fluidi hanno soluzioni che “esplodono”, ovvero alcune quantità diventano infinite in un tempo finito.

Queste “singularità” sono state dimostrate solo con condizioni iniziali attentamente selezionate all’interno di confini altamente simmetrici. Tuttavia, sapere che esistono potrebbe cambiare il modo in cui i ricercatori pensano a situazioni meno idealizzate. “Se non si colpisce esattamente una singolarità, ma ci si avvicina, forse significa che il comportamento del sistema è imprevedibile”, ha detto Charles Fefferman, Herbert E. Jones, Jr. ’43 University Professor of Mathematics presso l’Università di Princeton.

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Inoltre, i risultati recenti potrebbero essere estesi per chiarire l’impatto dell’attrito fluido, o viscosità, che viene trascurato nelle equazioni di Euler ma incluso nelle equazioni di Navier-Stokes più realistiche e importanti. Dimostrare l’esistenza o l’impossibilità di singolarità quando c’è viscosità (e nessun confine) farebbe guadagnare uno dei premi da un milione di dollari associati alla soluzione di uno dei sette noti problemi matematici complessi classificati come Problemi del Millennio dall’Istituto di Matematica Clay.

Anche se i risultati per le equazioni di Euler non soddisfano ancora questa sfida, potrebbero fornire importanti indizi su come farlo. Potrebbero anche ispirare i matematici a dimostrare le singolarità utilizzando metodi analitici tradizionali, che alcuni trovano più soddisfacenti.

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Ricerca di singolarità

I modelli di flusso dei fluidi emergono da un comportamento semplice a livello locale, in cui ogni porzione di fluido risponde a forze come gradienti di pressione. Un termine critico nelle equazioni descrive come la rotazione interna del fluido, o vorticità, viene trasportata insieme al fluido in movimento. Poiché questo termine di “stiramento del vortice” include sia la velocità che la rotazione, è intrinsecamente non lineare, complicando notevolmente il comportamento risultante. Sebbene le equazioni siano facili da scrivere (Euler lo fece nel 1757), trovare le loro soluzioni non lo è.

L’obiettivo è prevedere come i fluidi si evolveranno da qualsiasi condizione iniziale particolare, che specifica la velocità in ogni punto dello spazio in un momento di partenza. Le complessità del flusso dei fluidi travolgono rapidamente la capacità dei ricercatori di descriverlo analiticamente, ma le simulazioni al computer sono da tempo un importante complemento agli esperimenti.

Tuttavia, una domanda importante ancora aperta è se esista sempre una soluzione “globalmente regolare” unica che si comporti correttamente per qualsiasi condizione iniziale. Qualche anno fa, Tarek Elgindi, un matematico dell’Università di Duke, ha trovato una singolarità in un modello semplificato. “Ha prodotto una soluzione singolare dell’equazione di Euler”, ha detto Fetterman, “ma non è così regolare come si vorrebbe”.

In effetti, più di 20 anni fa, alcuni ricercatori avevano trovato soluzioni numeriche che sembravano esplodere. Tuttavia, utilizzando calcoli più precisi, altri, tra cui Thomas Hou del California Institute of Technology, hanno dimostrato che ciò che sembravano singolarità in realtà smettevano di esplodere senza sviluppare infiniti.

Tuttavia, dieci anni fa, Hou e il suo collega Luo Guo (ora presso l’Università di Hong Kong Hang Seng) hanno mostrato segni numerici più convincenti di una singolarità per le equazioni di Euler in una geometria attentamente scelta. Hanno studiato un fluido delimitato da un contenitore cilindrico perfetto con bande alternate di fluido che inizialmente fluiscono in senso orario e antiorario, che si incontrano in una linea circolare al confine.

L’obiettivo è prevedere come i fluidi si evolveranno da qualsiasi condizione iniziale particolare, che specifica la velocità in ogni punto dello spazio in un momento di partenza.

Intorno a questa linea, i flussi opposti inducono un flusso rotazionale secondario che cresce rapidamente. È importante notare che la simmetria cilindrica del contenitore e la simmetria speculare del flusso fanno sì che le non linearità che migliorano la vorticità rimangano concentrate presso la singolarità. La vorticità sembra diventare infinita in un tempo finito, anche se la velocità del fluido rimane finita.

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Prova Computer

Il recente lavoro di Hou e del suo studente Jiajie Chen (ora presso il Courant Institute presso la New York University) è considerato come una prova che vere singularità si verificano in questa situazione. È interessante notare che la prova inizia con profili numerici, anche se Hou nota che “un computer non può mai ottenere una risoluzione infinita”.

Tuttavia, come spiega Fefferman, sebbene la maggior parte dei numeri non possa essere rappresentata esattamente in un computer, i calcoli possono garantire limiti superiori e inferiori arbitrariamente stretti dei loro valori. Tecniche più sofisticate possono anche garantire che una rappresentazione di una funzione nel computer sia sufficientemente vicina, in un certo senso scelto. “Puoi occuparti non solo dei numeri, ma anche delle funzioni nel computer, e fare affermazioni che hanno un significato logico preciso e fare manipolazioni che sono garantite essere provabilmente corrette”.

La prova richiedeva che la singolarità si verifichi nonostante piccole deviazioni. “È molto importante avere un computer che ti dia un profilo candidato”, ha detto Hou, “Sulla base di quello, puoi fare analisi”, esaminando sistematicamente funzioni che sono molto “vicine” al candidato.

In caso contrario, “L’esplosione può avere qualche modo instabile, il che significa che puoi avvicinarti ad essa ma potresti non essere in grado di raggiungere la singolarità stessa. Potrebbe trovare un modo per sfuggire”, ha detto. “C’è qualche direzione instabile in cui una piccola perturbazione si allontanerà dalla singolarità”. I ricercatori hanno ripetutamente fatto affidamento sul computer per confermare che tutte le vie di fuga erano bloccate se le deviazioni sono sufficientemente piccole.

È importante sottolineare che i ricercatori hanno effettuato l’analisi di stabilità in una versione riscalata del problema. Assumono che la variazione spaziale sia quasi la stessa, tranne che la scala di lunghezza cambia come una potenza del tempo rimanente fino alla singolarità. “Riscaliamo la simulazione a tempo finito a tempo infinito nel dominio temporale riscalato e riscaliamo nello spazio, quindi abbiamo un profilo liscio”, ha detto Hou, anche se le coordinate stesse sono singolari. “Il problema equivalente è molto più facile, perché il profilo diventa liscio”.

Tuttavia, sebbene molte persone si aspettassero una singolarità per le equazioni di Eulero, “È molto difficile trovare un tale candidato”, ha detto Hou. “Se scegli casualmente alcuni dati iniziali lisci, è quasi certo che non esploderanno. Devi trovare una condizione molto speciale per generare questa esplosione autosemblante, sostenibile e stabile”.

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Oltre i Confini

“Puoi pensare a queste coordinate autosemblanti come una sorta di desingularizzazione delle singolarità”, ha detto Tristan Buckmaster dell’Università del Maryland, il cui team ha anche avanzato la ricerca di soluzioni liscie. “Vuoi dimostrare che accade qualcosa di orribile dimostrando che accade qualcosa di non-orribile”.

La riscalatura dipende dal determinare l’esponente preciso per la trasformazione. Buckmaster e i suoi colleghi stanno utilizzando “reti neurali a informazione fisica” per trovare i valori discreti che consentono una soluzione liscia.

A differenza delle reti neurali che suggeriscono iterativamente parametri a un solutore tradizionale separato, in questo caso “la rete neurale stessa è solo una rappresentazione non lineare della funzione”, ha detto Buckmaster. Inoltre, “sappiamo molto su come dovrebbe apparire la soluzione, quindi possiamo inserire direttamente nella rete neurale”, ha detto, incluso simmetrie, leggi di conservazione e comportamento asintotico. “Questo aiuta molto”.

Buckmaster spera che i suoi metodi aiutino a identificare le singolarità per il problema senza confini. “I metodi numerici tradizionali non sono davvero utili per trovare queste soluzioni”.

La soluzione di Hou e Chen “è un risultato fantastico. L’hanno risolto”, ha detto Buck-master. Tuttavia, ha detto, “il gioco non è avere un confine”, perché il flusso avrà sempre una discontinuità lì, che è dove si forma la singolarità. Buck-master spera che i suoi metodi aiutino a identificare le singolarità per il problema senza confini. “I metodi numerici tradizionali non sono davvero utili per trovare queste soluzioni”.

“Penso che ci sia una seria possibilità che una squadra o l’altra o entrambe trovino una singolarità per le equazioni di Eulero senza una parete”, ha detto Fefferman. “Personalmente penso che sia almeno interessante come il problema di Clay [Navier-Stokes]”.

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Includendo la Viscosità

Le implicazioni per le soluzioni di Navier-Stokes sono sorprendentemente oscure, tuttavia. Avendo risolto il caso di Eulero senza viscosità, si potrebbe “sperare che se il coefficiente di attrito è effettivamente molto, molto piccolo ma non zero, le soluzioni siano approssimativamente le stesse”, ha detto Fefferman, ed esiste persino un teorema provato che così dovrebbe essere. “Questo è molto, molto plausibile, ma si scopre che nel mondo reale è assolutamente falso, o così sembra”.

“C’è una straordinaria efficacia di una piccola quantità di attrito nel flusso dei fluidi”, ha osservato Fefferman. Le singolarità potrebbero contribuire a risolvere questa apparente contraddizione, ha detto, poiché dopo la singolarità potrebbe non esserci effettivamente nessuna soluzione delle equazioni di Euler, sebbene esistano altre possibili risoluzioni.

Buckmaster ha detto che le singolarità dipendono ancora di più dai confini quando c’è viscosità. Che esse persistano o sfuggano dipende dal valore preciso dell’esponente di autoscala con la viscosità, che spera che le sue reti neurali riescano a trovare in modo particolarmente efficace.

La viscosità è anche critica nell’importante fenomeno della turbolenza, che porta a una cascata di energia in vortici sempre più piccoli, fino a quando la viscosità la trasforma infine in calore. Sebbene questo processo abbia una autosimilarità geometrica, tende a diffondere la vorticità in tutto il fluido, anziché concentrarla, ha detto Hou. “In effetti, la turbolenza tende a distruggere la singolarità”. Tuttavia, di recente ha descritto uno scenario che porta a singolarità leggermente diverse nelle equazioni di Navier-Stokes.

“Se le singolarità esistono”, ha detto Fefferman, “è possibile che ci sia una varietà di singolarità diverse e che il lavoro attuale entusiasmante stia semplicemente scoprendo quelle che sono più facili da descrivere”.

Per approfondire

Chen, J. e Hou, T.Y. Blowup stabile quasi autosimile delle equazioni di Boussinesq 2D e di Euler 3D con dati lisci, https://arxiv.org/abs/2210.07191 (2022).

Cepelewicz, J. La dimostrazione al computer ‘fonde’ le equazioni dei fluidi secolari, Quanta , 16 nov. 2022, https://bit.ly/3ZAiXvU

Cepelewicz, J. L’apprendimento profondo pronto a far ‘esplodere’ le famose equazioni dei fluidi, Quanta , 12 aprile 2022, https://bit.ly/3YBmJns

Il problema del millennio di Navier-Stokes, con una descrizione ufficiale del problema di Charles Fefferman, Claymath.org , http://bit.ly/3l63PXV .

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Autore

Don Monroe è un autore di scienza e tecnologia con sede a Middlebury, VT, USA.

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