CDF vs PDF Qual è la differenza?
CDF vs PDF Qual è la differenza?
La funzione di distribuzione cumulativa e la funzione di densità di probabilità sono due concetti essenziali nella teoria delle probabilità che spesso confondono gli studenti. La comprensione del comportamento, delle caratteristiche e delle distribuzioni delle variabili casuali dipende in modo critico da queste operazioni. Conoscere le differenze tra PDF e CDF è cruciale per analizzare e interpretare le probabilità legate alle variabili casuali continue e discrete.
Questo articolo discuterà le definizioni di PDF e CDF e i loro ruoli e interazioni unici. Per chiarire la loro applicazione e evidenziare la loro importanza in diverse applicazioni statistiche, offriremo anche un esempio risolto per mostrare il loro utilizzo.
Cos’è la funzione di densità di probabilità (PDF)?
La PDF è uno strumento cruciale per comprendere le probabilità associate alle variabili casuali continue. Fornisce una curva liscia che rappresenta la distribuzione di probabilità sui possibili valori. La funzione PDF non fornisce le probabilità di valori specifici individuali. Tuttavia, descrive la probabilità che la variabile casuale assuma valori all’interno di un piccolo intervallo intorno a un punto specifico.
Per comprendere il concetto di PDF, immaginate una distribuzione di probabilità continua, come l’altezza degli uomini adulti. La probabilità per diversi intervalli di altezza sarà visualizzata nella PDF. Potrebbe suggerire, ad esempio, che le persone con altezze comprese tra 5’9″ e 5’10” sono più numerose rispetto a quelle con altezze al di fuori di quel range.
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L’area sotto la curva della PDF che copre un intervallo rappresenta la probabilità che la variabile casuale cada all’interno di quel range. Solo calcolando l’integrale della PDF in quel punto è possibile calcolare la probabilità di un singolo valore, che è la probabilità che la variabile casuale sia infinitesimamente vicina a quel valore.
Cos’è la funzione di distribuzione cumulativa (CDF)?
La CDF è un concetto complementare alla PDF e fornisce una prospettiva cumulativa delle probabilità associate a una variabile casuale. A differenza della curva liscia della PDF, la CDF è una funzione a gradini che salta su valori specifici. Mostra la probabilità che un determinato numero sia minore o uguale alla variabile casuale.
La CDF inizia da 0 per valori negativi, muovendosi costantemente verso 1 man mano che il valore della variabile casuale aumenta. Per le variabili casuali discrete, la CDF aumenta a gradini corrispondenti alle probabilità di ciascun risultato possibile. Per le variabili casuali continue, aumenta in modo regolare, riflettendo le probabilità accumulate in diversi intervalli.
La CDF mostrerebbe la probabilità di trovare un uomo con un’altezza inferiore o uguale a un certo valore, come 5’9″, utilizzando l’esempio delle altezze degli uomini di prima. La CDF ci consente di rispondere a domande come “Quale percentuale di uomini adulti è più bassa di 5’9″” presentando la probabilità cumulativa.
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PDF vs CDF: comprensione con esempi
Comprendere come interagiscono la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa è essenziale per comprendere il comportamento delle variabili casuali e il funzionamento delle loro distribuzioni. Entrambe le funzioni forniscono informazioni complementari sulle probabilità dei valori della variabile casuale.
In precedenza abbiamo mostrato come calcolare la PDF e la CDF utilizzando l’esempio del dado equo a sei facce. Esploreremo ora la loro connessione e gli aspetti più profondi della loro relazione.
Calcolare la CDF dalla PDF
Per trovare la CDF dalla PDF, è necessario integrare la PDF su un determinato intervallo. La CDF in un certo punto x (F(x)) per una variabile casuale continua corrisponde alla regione della curva della PDF fino a quel punto. Può essere modellato matematicamente come segue:
F(x)=[a, x]f(t)dtQui, x è il punto sulla curva di distribuzione per il quale desideriamo ottenere la probabilità cumulativa e a è il limite inferiore dell’intervallo.
Per il nostro esempio di lancio del dado equo, possiamo utilizzare i valori della PDF calcolati in precedenza per trovare la CDF:
Calcoliamo la CDF per x = 3:
F(3) = ∫[1, 3] f(t) dt
F(3) = ∫[1, 3] 16 dt
F(3) = [t6] |[1, 3]
F(3) = (36) - (16)
F(3) = 26Allo stesso modo, possiamo calcolare la CDF per altri valori di x utilizzando lo stesso approccio.
Relazione tra PDF e CDF per variabili casuali discrete
La relazione tra la PMF (Probability Mass Function) e la CDF è più evidente per le variabili casuali discrete. La PMF fornisce le probabilità per ogni valore specifico della variabile casuale discreta, mentre la CDF accumula queste probabilità.
La CDF per un valore particolare, x, è la somma di tutte le probabilità della variabile casuale che è minore o uguale a x. Matematicamente, per variabili casuali discrete:
F(x) = P(X ≤ x) = Σ[tutti i valori ≤ x] P(X = valore)Aggiungendo le probabilità di tutti i valori fino a x, otteniamo la probabilità cumulativa fino a quel punto, e questo processo si allinea con il concetto di CDF.
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Comprensione delle differenze tra CDF e PDF
Capire le proprietà uniche e le applicazioni di PDF e CDP:
Definizione
| CDF | |
| La funzione di densità di probabilità o PDF descrive la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. Mostra la probabilità che la variabile casuale assuma un valore particolare. | In generale, la probabilità che una variabile casuale assuma un valore minore o uguale a un valore specifico è determinata dalla funzione di distribuzione cumulativa o CDF. |
Rappresentazione
| CDF | |
| Una variabile casuale continua è spesso rappresentata dall’espressione f(x), dove ‘x’ rappresenta il valore della variabile. | Può essere applicata a variabili casuali continue e discrete ed è spesso espressa come F(x), dove ‘x’ rappresenta il valore della variabile. |
Tipo di funzione
| CDF | |
| La PDF è utilizzata per variabili casuali continue, in cui la probabilità è distribuita su un intervallo infinito di valori. | La CDF si applica a variabili casuali discrete e continue, in quanto accumula probabilità per tutti i possibili valori della variabile casuale. |
Interpretazione
| CDF | |
| La PDF fornisce la densità di probabilità in un punto specifico sulla curva di distribuzione continua, indicando come la probabilità è distribuita su valori diversi. | La CDF fornisce la probabilità cumulativa fino a un valore specifico, offrendo informazioni sulle probabilità della variabile casuale che è minore o uguale a quel valore. |
Integrazione
| CDF | |
| L’integrale della PDF su un determinato intervallo restituisce la probabilità che la variabile casuale cada all’interno di tale intervallo. | La CDF si ottiene integrando la PDF da un limite inferiore a un valore specifico, ‘x’, che accumula le probabilità fino a quel punto. |
Intervallo
| CDF | |
| La PDF può assumere qualsiasi valore non negativo per un determinato punto sulla curva di distribuzione, rappresentando la probabilità che la variabile assuma quel valore. | La CDF varia sempre da 0 a 1, in quanto fornisce la probabilità cumulativa ed è non decrescente, il che significa che può solo aumentare o rimanere costante all’aumentare di ‘x’. |
Applicazione
| CDF | |
| Il PDF viene comunemente utilizzato nella stima della densità di probabilità, nella modellazione statistica e nella comprensione della forma delle distribuzioni continue. | Il CDF può essere utilizzato per determinare i percentile e i quantili di una distribuzione e la probabilità che una variabile casuale cada in un determinato intervallo. |
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Conclusioni
Per riassumere, comprendere la distinzione tra CDF e PDF è essenziale nella probabilità e nelle statistiche. Entrambi svolgono un ruolo fondamentale nell’analisi delle variabili casuali e delle loro distribuzioni. Se desideri approfondire la scienza dei dati e migliorare le tue competenze statistiche, considera l’iscrizione al programma Analytics Vidhya Blackbelt. Questo programma completo ti fornirà le conoscenze e le competenze per eccellere nel mondo della scienza dei dati. Non perdere questa opportunità per sbloccare il tuo pieno potenziale e spingere la tua carriera verso nuove vette con il programma Analytics Vidhya Blackbelt. Inizia oggi stesso il tuo percorso nella scienza dei dati!
