Derivata di una funzione – Cos’è?

'Derivative of a function - What is it?

Cosa è una tangente a una funzione f(x) nel punto x? È la linea che tocca la funzione solo nel punto x. Non interseca la funzione in nessun altro punto x2, diverso da x.

Cosa è la derivata di una funzione f(x) nel punto x? È la pendenza della tangente alla funzione in quel punto.

Considera la funzione:

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Il grafico di questa funzione è:

Per ogni x < 0, la tangente alla funzione nel punto x avrebbe l’aspetto seguente:

Questa tangente ha una pendenza negativa. Quindi, la derivata di f(x) nel punto x < 0 è negativa.

Per ogni x > 0, la tangente alla funzione nel punto x avrebbe l’aspetto seguente:

Questa tangente ha una pendenza positiva. Quindi, la derivata di f(x) nel punto x > 0 è positiva.

Al x = 0, la tangente alla funzione coincide con l’asse x come mostrato di seguito:

Questa tangente ha una pendenza di 0. Quindi, la derivata di f(x) in x = 0 è zero.

Si noti che al x = 0, la tangente non sarà come quella seguente perché, la linea interseca la funzione in 2 punti:

La derivata di una funzione f(x) è definita matematicamente dal seguente limite:

Dove h è un numero infinitesimamente piccolo.

Man mano che h si avvicina a 0 dalla direzione negativa (per valori negativi di h) il valore del limite è il seguente:

Man mano che h si avvicina a 0 dalla direzione positiva (per valori positivi di h) il valore del limite è il seguente:

La derivata è indicata come:

Questi due limiti devono essere uguali. Quel valore limite è la derivata.

Dove df(x) in x = a è:

Dove dx è:

Si noti che l’esempio considerato sopra è una funzione che è continua e regolare per tutti i valori di x. Le derivate di una funzione esistono solo nei punti in cui è continua e regolare e dove non si verificano tangenti verticali (nei punti in cui si verificano tangenti verticali, la pendenza della tangente è infinita). Una derivata è anche chiamata differenziale.

Ci sono punti in cui una funzione non avrà una derivata. La funzione non è differenziabile in tali punti. Vedremo tali punti in un futuro post.

Per ora, ci salutiamo!