Algebra Lineare 3 Equazioni Vettoriali

Le Equazioni Vettoriali nell'Algebra Lineare 3

Equazioni vettoriali e span

Prefazione

Benvenuti al terzo saggio della mia serie in corso sui fondamenti dell’Algebra Lineare, la matematica di base dietro l’apprendimento automatico. Nel mio precedente articolo, ho esaminato le forme delle matrici echelon. Questo articolo esaminerà vettori, span e combinazioni lineari e collegherà queste nuove idee a quello che abbiamo già imparato. Questo articolo sarà più utile se letto in accompagnamento a Algebra Lineare e sue Applicazioni di David C. Lay, Steven R. Lay e Judi J. McDonald. Considerate questa serie come una risorsa complementare.

Sentitevi liberi di condividere pensieri, domande e critiche.

Vettori in ℝ², ℝ³ e ℝⁿ

Fino ad ora abbiamo imparato sulle matrici, che sono matrici di numeri. Cosa succederebbe se avessimo semplicemente un insieme di numeri? Ecco il vettore: un tipo speciale di matrice con dimensioni m x 1, dove m indica il numero di righe o elementi nel vettore. Ricordate che la notazione per le dimensioni di una matrice è m x n, dove m è il numero di righe e n è il numero di colonne. Un vettore avrà sempre una sola colonna, ma qualsiasi numero di righe.

• Comprensione della colorazione dei grafi un concetto essenziale nella teoria dei grafi
• Democratizzare l’IA l’impatto di MosaicML sul movimento open source LLM
• Tutorial per principianti Collegare i modelli GPT con i dati aziendali in Microsoft Azure

L’insieme di tutti i vettori con due elementi è ℝ². ℝ racchiude l’intero insieme dei numeri reali, quindi è logico che ℝ² sia lo spazio bidimensionale di tutti i possibili punti (x, y) di numeri reali.

I vettori possono essere in ℝ², ℝ³, ℝ⁴ … ℝⁿ, notate che la dimensione dello spazio dei vettori corrisponde al numero di elementi nel vettore.

Probabilmente vi imbatterete nel peculiare vettore zero (scritto semplicemente come 0), un vettore in cui tutti i suoi elementi sono zero. Sebbene possa sembrare un dettaglio insignificante, scopriremo in seguito che ha importanti implicazioni per alcune delle idee più importanti dell’Algebra Lineare.

Visualizzazione geometrica

Fino ad ora, matrici e vettori sono stati descritti, spiegati e notati matematicamente, mentre i vettori in fisica vengono descritti come una quantità con magnitudine e direzione. Entrambe le definizioni sono corrette; la visualizzazione grafica sottostante dei vettori in ℝ² unisce entrambe le definizioni di un vettore.

È importante tenere presente che i vettori in ℝ² sono coppie ordinate e i vettori negli spazi vettoriali di dimensioni superiori sono tuple ordinate (una lista di numeri con un ordine definito). Due vettori possono avere gli stessi numeri come elementi, ma se l’ordine dei loro elementi non è lo stesso, allora i vettori non sono gli stessi, come si vede nel diagramma sopra.

Anche i vettori in ℝ³ possono essere visualizzati, basta aggiungere un terzo asse poiché abbiamo un elemento aggiuntivo. Oltre a ℝ³, la rappresentazione grafica dei vettori diventa molto più complessa poiché diventa difficile visualizzare spazi di dimensione superiore.

Proprietà algebriche dei vettori

Per tutti i vettori u, v, w in uno spazio vettoriale e per i numeri scalari c e d: valgono le seguenti proprietà algebriche¹:

(i) commutativo*: u + v = v + u

(ii) associativo*: (u + v) + w = w + (v + w)

(iii) elemento identità dell’addizione: u + 0 = 0 + u = u

(iv) inverso additivo: u + (-u) = –u + u = 0

(v) distributivo rispetto ai vettori: c(u + v) = cu + cv

(vi) distributivo rispetto ai numeri scalari: (c + d)u = cu + du

(vii) associativo rispetto ai numeri scalari: c(du) = (cd)u

Queste proprietà sono legate alle operazioni di addizione e moltiplicazione per scalari.

Per aggiungere due vettori, si sommano le corrispondenti componenti per ottenere la somma dei vettori. Ciò significa che l’addizione di due vettori di dimensioni diverse è indefinita. Per poter aggiungere due vettori, devono avere lo stesso numero di componenti! Questa condizione deriva dal modo in cui si esegue l’addizione dei vettori.

Nella moltiplicazione per scalari, dato uno scalare c e un vettore u, il prodotto scalare è cu, dove ogni componente di u viene moltiplicata per lo scalare c.

Queste due operazioni possono essere utilizzate insieme; e come vedrai nella prossima sezione, vengono combinate per formare un concetto centrale dell’Algebra Lineare: le combinazioni lineari.

Combinazioni Lineari

Supponiamo di avere i vettori v₁, v₂, … vₐ in ℝⁿ e ci sono dati i numeri scalari (anche chiamati pesi) c₁, c₂, … cₐ, che possono essere qualsiasi numero reale, incluso lo zero. La combinazione lineare è il vettore definito dalla somma dei prodotti scalari, c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₐvₐ. ²

In precedenza, abbiamo esplorato il concetto di esistenza nell’Algebra Lineare, dove dato una matrice, esiste almeno una soluzione? In altre parole, la forma normale ridotta/riga della matrice presenta delle incongruenze? Se sì, non esistono soluzioni. Se no, allora esiste almeno una soluzione. Questa fondamentale domanda sull’esistenza è legata a molte idee dell’Algebra Lineare, e le combinazioni lineari non fanno eccezione.

Diciamo che un vettore b è una combinazione lineare di un insieme di vettori v₁, v₂, .. vₐₚ in ℝⁿ, se esiste un insieme di pesi c₁, c₂, … cₐ (una soluzione) tale che c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₐvₐ = b.

Per determinare se b è una combinazione lineare, possiamo utilizzare le operazioni di addizione e moltiplicazione per scalari per riorganizzare l’equazione della combinazione lineare: c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₐvₐₚ = b in una notazione con cui siamo diventati molto familiari. Questo processo di riorganizzazione ci fa capire anche perché determinare se il vettore b è una combinazione lineare di un insieme di vettori rappresenta un problema di esistenza.

La spiegazione precedente serve a sottolineare perché il problema dell’esistenza e la riduzione delle righe delle matrici sono collegati alle combinazioni lineari e dimostrano l’idea in senso generale. Vediamo ora un esempio più specifico.

Nell’esempio sopra, dopo aver ridotto la matrice aumentata alla forma normale a gradini ridotta delle righe, abbiamo trovato che esiste effettivamente una soluzione!

Tuttavia, consideriamo il caso di una matrice aumentata in forma normale a gradini ridotta con la riga [0, 0, … | b] dove b ≠ 0, ciò significherebbe che il vettore b non può essere scritto come combinazione lineare di un insieme di vettori. In altre parole, il vettore b è fuori dalla portata del nostro insieme di vettori, o (e questo è un bel passaggio alla prossima sezione) il vettore b non è nell’interno dell’insieme di vettori.

Interno di un Insieme di Vettori

L’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari per i vettori v₁, v₂, … vₐ in ℝⁿ è indicato come sottoinsieme di ℝⁿ spanned da v₁, v₂, … vₐ. L’interno dei vettori v₁, v₂, … vₐ è indicato come Span{v₁, v₂, … vₐ} ed è l’insieme di vettori che possono essere scritti come c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₐvₐ.³ Un altro modo di pensarlo è che l’interno contiene tutti i vettori che possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, … vₐ.

Possiamo trovare l’interno per un dato set di qualsiasi numero di vettori. Supponiamo di avere un set costituito da un vettore singolare, v₁. L’Interno{v₁} sarebbe quindi tutti i multipli scalari di v₁ perché l’unica operazione che si può applicare in questo caso è la moltiplicazione scalare (servono almeno due vettori per eseguire l’addizione vettoriale). L’Interno{v₁} contiene tutti i vettori a cui si può arrivare con v₁.

Se visualizzassimo l’interno, sarebbe una retta rettilinea che passa per v₁ e l’origine perché con un solo vettore, le combinazioni lineari (multipli vettoriali) non possono cambiare direzione. Questo punto è ulteriormente illustrato nel diagramma sottostante.

Considera l’interno di due vettori in direzioni diverse in ℝ², quali sono le possibili combinazioni lineari che possono fare questi due vettori? In altre parole, quali sono i vettori in ℝ² che possono essere scritti come combinazione lineare di quei due vettori?

Nel caso sopra, dopo ulteriori indagini, sembra che u e v comprendano tutto ℝ²! Ciò significa che ogni vettore in ℝ² può essere scritto come combinazione lineare di u e v. In un futuro articolo, esploreremo il concetto di indipendenza lineare che verrà utilizzato per dimostrare concretamente che u e v comprendono ℝ².

Conclusione

I vettori, le combinazioni lineari e gli interni ci portano un passo più in profondità nel ricco campo dell’Algebra Lineare. Questi concetti fondamentali ci aiutano a comprendere la struttura degli spazi vettoriali e le relazioni tra diversi insiemi di vettori. Man mano che progrediamo ulteriormente, troverai che queste idee riemergono continuamente perché sono legate ad altri concetti fondamentali. Allo stesso modo, spero che dedicherai del tempo a riflettere su come tutto ciò che abbiamo imparato finora (l’esistenza di soluzioni, le forme a gradini delle righe) sia profondamente collegato a questi nuovi concetti.

Sommario

In questo capitolo, abbiamo imparato su:

• Vettori in ℝ², ℝ³ e ℝⁿ: il vettore è un tipo speciale di matrice con dimensioni m x 1. Un vettore può avere qualsiasi numero di elementi ma solo una colonna. Abbiamo scoperto che è anche possibile avere un vettore nullo, un vettore in cui tutti i suoi elementi sono zero.
• La visualizzazione geometrica dei vettori: i vettori possono essere rappresentati graficamente, il che aiuta a capire da dove derivano le idee di magnitudine e direzione.
• Proprietà algebriche dei vettori: le seguenti proprietà algebriche dei vettori valgono per tutti i vettori e i numeri scalari; commutativa, associativa, elemento identità additivo, inverso additivo, distributiva con i vettori, distributiva con gli scalari e associativa con gli scalari.
• Combinazioni lineari: la combinazione lineare è il vettore definito dalla somma dei multipli scalari c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₐvₐ. I pesi c₁, c₂, … cₐ possono essere qualsiasi scalare, incluso lo zero.
• Span dei vettori: lo span dei vettori v₁, v₂, … vₐ è indicato come Span{v₁, v₂, … vₐ} ed è l’insieme di vettori che possono essere scritti come c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₐvₐ.

Note

¹Proprietà algebriche dei vettori tratte da https://cs.brown.edu/stc/summer/94GeoTrans/94GeoTrans_17.html

²Definizione per le combinazioni lineari tratte da Algebra Lineare e Applicazioni 6ª Edizione di David C. Lay, Steven R. Lay e Judi J. McDonald

³Definizione per lo span tratte da Algebra Lineare e Applicazioni 6ª Edizione di David C. Lay, Steven R. Lay e Judi J. McDonald

*Tutte le immagini sono state create dall’autore, salvo diversa indicazione.

*La proprietà associativa significa che per le operazioni di addizione e moltiplicazione, i numeri possono essere raggruppati in qualsiasi modo e il risultato rimarrà lo stesso. Ad esempio, (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10 e (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30.

*Commutativo significa che per le operazioni di addizione e moltiplicazione, i numeri possono essere aggiunti o moltiplicati in qualsiasi ordine e il risultato rimarrà lo stesso. Ad esempio, 5 + 2 = 2 + 5 = 7 e 5 x 2 = 2 x 5 = 10.