Invertendo il Tempo Modelli di Diffusione ed Equazioni Differenziali Stocastiche

Invertendo il Tempo Modelli di Diffusione ed Equazioni Differenziali Stocastiche

All’inizio c’era il caos…

I modelli di diffusione ci permettono di invertire il tempo. Sì, il tempo. Ma sto anticipando le cose… Nei due articoli precedenti abbiamo discusso due diverse formulazioni del processo di diffusione, i Modelli di Diffusione Probabilistica ad Eliminazione del Rumore (DDPM) e i Modelli di Diffusione tramite Corrispondenza dei Punteggi via Dinamica di Langevin (SMLDs). In questo articolo, uniremo queste due formulazioni e scopriremo come possiamo descrivere il processo di diffusione e la sua inversione utilizzando le Equazioni Differenziali Stocastiche (SDEs).

Iniziamo il nostro viaggio nel tempo!

Contesto Matematico

Prima di immergerci nei modelli di diffusione, prendiamoci un minuto per comprendere i concetti principali delle equazioni differenziali stocastiche.

Equazioni Differenziali Deterministiche

Come probabilmente già saprai, un’equazione differenziale è un’equazione che collega una o più funzioni alle loro derivate. In fisica e matematica, utilizziamo le equazioni differenziali per modellare il comportamento dinamico di vari sistemi.

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In generale, un’equazione differenziale ha la seguente forma:

Possiamo anche esprimere questa equazione in termini dell’infinitesimo differenziale:

Intuitivamente, ciò significa che una variazione molto piccola – infinitesima – del valore della funzione x = x(t) è uguale a una variazione molto piccola nel tempo scalata da un fattore di magnitudine f = f(t, x(t)).

Vale la pena notare che la formulazione precedente descrive un’equazione differenziale deterministica. Ciò significa che con le stesse condizioni iniziali, otteniamo una soluzione unica per il sistema, cioè non c’è casualità.

Equazioni Differenziali Stocastiche

Chiunque abbia seguito un corso di probabilità sa che nella maggior parte dei casi il mondo reale è troppo complesso per descriverlo accuratamente utilizzando equazioni differenziali deterministiche. In questi casi, utilizziamo concetti della teoria delle probabilità, come i processi stocastici, nel tentativo di modellare i fenomeni del mondo reale.

Il caso classico di un sistema complesso del genere è il movimento browniano, cioè il movimento delle particelle…