Una panoramica dell’algebra lineare le basi

Panoramica algebra lineare basi

Pensiamo senza basi, scriviamo senza basi, ma quando le cose vanno male chiudiamo la porta dell’ufficio e calcoliamo con le matrici come furie.

Una vista a volo d'uccello di un campo. Immagine creata con midjourney

L’algebra lineare è una disciplina fondamentale che sottende tutto ciò che si può fare con la matematica. Dalla fisica all’apprendimento automatico, alla teoria delle probabilità (ad esempio, catene di Markov), chiamatelo come volete. Non importa cosa stiate facendo, l’algebra lineare è sempre in agguato sotto le coperte, pronta ad affrontarvi non appena le cose diventano multidimensionali. Nella mia esperienza (e ho sentito dire questo anche ad altri), questo è stato alla base di un grande shock tra la scuola superiore e l’università. Nella scuola superiore (in India), sono stato esposto a un’algebra lineare molto basilare (principalmente determinanti e moltiplicazione di matrici). Poi, nell’istruzione ingegneristica universitaria, ogni materia all’improvviso sembra presupporre una competenza in concetti come autovalori, jacobiani, ecc., come se dovessi nascere con queste conoscenze.

Questo blog ha lo scopo di fornire una panoramica di alto livello dei concetti e delle loro applicazioni ovvie che esistono e sono importanti da conoscere in questa disciplina. In modo che almeno sappiate cosa non sapete (se qualcosa). È anche un pretesto per raccogliere risorse e link in modo che le persone possano approfondire la tana del coniglio.

I) Spazi vettoriali

Come accennato nella sezione precedente, l’algebra lineare compare inevitabilmente quando le cose diventano multidimensionali. Partiamo da uno scalare, che è semplicemente un numero di qualche tipo. Per questo articolo, considereremo numeri reali e complessi come scalari. In generale, uno scalare può essere qualsiasi oggetto in cui sono definite le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (astratte come un “campo”). Ora, vogliamo un framework per descrivere collezioni di tali numeri (aggiungere dimensioni). Queste collezioni sono chiamate “spazi vettoriali”. Considereremo i casi in cui gli elementi dello spazio vettoriale sono numeri reali o complessi (il primo caso è un caso particolare del secondo). Gli spazi vettoriali risultanti sono chiamati rispettivamente “spazi vettoriali reali” e “spazi vettoriali complessi”.

Le idee dell’algebra lineare sono applicabili a questi “spazi vettoriali”. L’esempio più comune è il pavimento, il tavolo o lo schermo del computer su cui ti trovi…