Qual è la differenza tra covarianza e correlazione?

La differenza tra covarianza e correlazione?

Introduzione

Comprendere e rivelare le intricate affinità tra variabili nell’ampio campo delle statistiche è fondamentale.

Tutto, dalla presa di decisioni basata sui dati alla scoperta scientifica alla modellazione predittiva, dipende dalla nostra capacità di svelare le connessioni nascoste e i pattern all’interno di complessi set di dati. Tra i vari standard statistici che supportano questa ricerca, la covarianza e la correlazione sono cruciali, fornendo intuizioni sulle indipendenze tra le variabili.

La covarianza e la correlazione sono variabili che si verificano frequentemente nell’analisi statistica, tuttavia spesso le persone le confondono o le usano in modo intercambiabile. Le sottili differenze che distinguono questi due standard possono influenzare profondamente la nostra interpretazione e utilizzo delle relazioni statistiche.

Pertanto, comprendere la vera natura della covarianza e della correlazione è fondamentale per qualsiasi appassionato di dati o professionista che si sforzi di svelare il pieno potenziale dei propri dati.

Questo blog – covarianza vs correlazione – discuterà le differenze tra questi due concetti statistici e svelerà la loro relazione.

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Covarianza

È un termine statistico che indica un’associazione sistematica tra due variabili casuali, in cui il cambiamento nell’altra riflette il cambiamento in una variabile.

Definizione e Calcolo della Covarianza

La covarianza indica se le due variabili sono direttamente o inversamente proporzionali.

La formula della covarianza determina i punti dati in un dataset dal loro valore medio. Ad esempio, è possibile calcolare la covarianza tra due variabili casuali, X e Y, utilizzando la seguente formula:

Nel procedimento sopra indicato,

Interpretazione dei Valori di Covarianza

I valori di covarianza indicano l’entità e la direzione (positiva o negativa) della relazione tra le variabili. I valori di covarianza vanno da -∞ a +∞. Il valore positivo indica una relazione positiva, mentre il valore negativo rappresenta una relazione negativa.

Covarianza Positiva, Negativa e Zero

Più alto è il numero, più forte è la relazione tra le variabili. Comprendiamo ora ogni tipo di varianza individualmente:

Covarianza Positiva

Se la relazione tra le due variabili è una covarianza positiva, esse si sviluppano nella stessa direzione. Rappresenta una relazione diretta tra le variabili. Pertanto, le variabili si comporteranno in modo simile.

La relazione tra le variabili sarà una covarianza positiva solo se i valori di una variabile (minori o maggiori) sono uguali all’importanza di un’altra variabile.

Covarianza Negativa

Un numero negativo rappresenta una covarianza negativa tra due variabili casuali. Questo implica che le variabili condividono una relazione inversa. Nella covarianza negativa, le variabili si muovono in direzioni opposte.

A differenza della covarianza positiva, maggiore è una variabile, minore è il valore di un’altra variabile e viceversa.

Covarianza Zero

La covarianza zero indica l’assenza di una relazione tra due variabili.

Importanza della Covarianza nella Valutazione della Relazione Lineare

La covarianza è significativa per determinare la relazione lineare tra le variabili. Suggerisce la direzione (negativa o positiva) e l’entità della relazione tra le variabili.

Un valore di covarianza più alto indica una forte relazione lineare tra le variabili, mentre una covarianza zero suggerisce l’assenza di legami.

Limitazioni e Considerazioni della Covarianza

Le scale di misurazione influenzano la covarianza e sono fortemente influenzate dagli outliers. La covarianza è limitata a misurare solo le relazioni lineari e non comprende la direzione o la forza.

Inoltre, confrontare covarianze tra diversi dataset richiede cautela a causa delle diverse gamme di variabili.

Correlazione

A differenza della covarianza, la correlazione ci indica la direzione e l’entità della relazione tra più variabili. La correlazione valuta fino a che punto due o più variabili casuali progrediscono in sequenza.

Definizione e Calcolo del Coefficiente di Correlazione

La correlazione è un concetto statistico che determina la potenza della relazione tra due variabili numeriche. Nell’individuare la relazione tra le variabili, deduciamo il cambiamento di una variabile che influisce su una differenza in un’altra.

Quando un movimento analogo di un’altra variabile ripercorre il progresso di una variabile in qualche modo durante lo studio delle due variabili, le variabili sono correlate.

La formula per calcolare il coefficiente di correlazione è la seguente:

Dove,

Interpretazione dei valori di correlazione

Esistono tre tipi di correlazione basati su valori diversi. Correlazione negativa, correlazione positiva e correlazione nulla o zero.

Correlazione positiva, negativa e zero

Se le variabili sono direttamente proporzionali tra loro, le due variabili sono considerate in correlazione positiva. Ciò implica che se il valore di una variabile aumenta, il valore dell’altra supererà. Una correlazione positiva ideale ha un valore di 1.

Ecco come appare una correlazione positiva:

In una correlazione negativa, il valore di una variabile aumenta mentre il valore della seconda diminuisce. Una correlazione negativa perfetta ha un valore di -1.

Ecco come appare una correlazione negativa:

Come nel caso della covarianza, una correlazione nulla significa che non c’è relazione tra le variabili. Pertanto, se una variabile aumenta o diminuisce, non influirà sull’altra variabile.

Forza e direzione della correlazione

La correlazione valuta la direzione e la forza di una relazione lineare tra più variabili. Il coefficiente di correlazione varia da -1 a 1, con valori vicini a -1 o 1 che implicano un’alta associazione (rispettivamente negativa o positiva) e valori vicini a 0 che suggeriscono una correlazione debole o nulla.

Coefficiente di correlazione di Pearson e sue proprietà

Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) misura la connessione lineare tra due variabili. Le proprietà del coefficiente di correlazione di Pearson includono le seguenti:

Forza: Il valore assoluto del coefficiente indica la forza della relazione. Più il valore del coefficiente si avvicina a 1, più è forte la correlazione tra le variabili. Tuttavia, un valore più vicino a 0 rappresenta un’associazione più debole.
Direzione: Il segno del coefficiente indica la direzione della relazione. Se il valore è positivo, c’è una correlazione positiva tra le due variabili, il che significa che se una variabile aumenta, anche l’altra aumenterà. Se il valore è negativo, c’è una correlazione negativa, il che suggerisce che quando una variabile aumenta, l’altra diminuirà.
Intervallo: Il contenuto del coefficiente varia da -1 a 1. Un’associazione lineare perfetta è rappresentata da -1, l’assenza di una relazione lineare è rappresentata da 0 e una relazione lineare ideale è indicata da un valore di 1.
Indipendenza: Il coefficiente di correlazione di Pearson quantifica quanto due variabili siano linearmente dipendenti ma non implica causalità. Non c’è garanzia che una forte correlazione indichi una connessione causa-effetto.
Linearità: Il coefficiente di correlazione di Pearson valuta solo relazioni lineari tra variabili. Il coefficiente potrebbe essere insufficiente per descrivere completamente connessioni non lineari.
Sensibilità agli outlier: Gli outlier nei dati potrebbero influenzare il valore del coefficiente di correlazione, aumentandolo o diminuendolo.

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Altri tipi di coefficienti di correlazione

Altri coefficienti di correlazione sono:

Correlazione di rango di Spearman: È un indicatore non parametrico di correlazione di rango o la dipendenza statistica tra i ranghi di due variabili. Valuta quanto efficacemente una funzione monotona può catturare la connessione tra due variabili.
Correlazione di rango di Kendall: Una statistica determina la relazione ordinale tra due valori misurati. Rappresenta la similarità dell’ordinamento dei dati quando ordinati per ciascuna quantità, che è una misura di correlazione di rango.

Un’immagine di una famiglia antisimmetrica di copule di correlazione di rango di Spearman e tau di Kendall è intrinsecamente una funzione di parametro dispari.

Vantaggi e svantaggi della covarianza

Ecco i vantaggi e gli svantaggi della covarianza:

Vantaggi

Semplice da calcolare: Il calcolo della covarianza non richiede alcuna ipotesi sulla distribuzione dei dati sottostanti. Pertanto, è facile calcolare la covarianza con la formula sopra indicata.
Comprende la relazione: La covarianza misura l’estensione dell’associazione lineare tra le variabili, fornendo informazioni sulla magnitudine e la direzione della relazione (positiva o negativa).
Beneficiosa nell’analisi del portafoglio: La covarianza viene comunemente utilizzata nell’analisi del portafoglio per valutare i vantaggi della diversificazione nell’integrazione di diversi asset.

Svantaggi

Ristretto alle Relazioni Lineari: La covarianza misura solo le relazioni lineari tra le variabili e non cattura le associazioni non lineari.
Non Offre la Magnitudine della Relazione: La covarianza non fornisce una stima standardizzata dell’intensità o della forza della relazione tra le variabili.
Dependenza dalla Scala: La covarianza è influenzata dalle scale di misurazione delle variabili, rendendo difficile confrontare le covarianze tra diversi dataset o variabili con unità distinte.

Vantaggi e Svantaggi della Correlazione

I vantaggi e gli svantaggi della correlazione sono i seguenti:

Vantaggi

Determinazione di Relazioni Non Lineari: Mentre la correlazione stima principalmente relazioni lineari, può anche dimostrare la presenza di connessioni non lineari, specialmente quando si utilizzano misure alternative di correlazione come il coefficiente di correlazione di ranghi di Spearman.
Criterio Standardizzato: I coefficienti di correlazione, come il coefficiente di correlazione di Pearson, sono standardizzati e variano da -1 a 1. Ciò consente un confronto e un’interpretazione semplici della direzione e della forza delle relazioni tra diversi dataset.
Robustezza agli Outlier: I coefficienti di correlazione sono generalmente meno sensibili agli outlier rispetto alla covarianza, offrendo uno standard più potente dell’associazione tra le variabili.
Indipendenza dalla Scala: La correlazione non è influenzata dalle scale di misurazione, rendendola comoda per confrontare le affinità tra variabili con unità o scale diverse.

Svantaggi

Influenzato da Valori Estremi: I valori estremi possono comunque influenzare il coefficiente di correlazione, anche se è meno suscettibile agli outlier rispetto alla covarianza.
Requisiti dei Dati: La correlazione presuppone che i dati siano distribuiti secondo una distribuzione normale bivariata, il che potrebbe non essere sempre accurato.
Limitato all’Analisi Bivariata: Poiché la correlazione esamina solo la connessione tra due variabili contemporaneamente, può catturare solo correlazioni multivariate semplici.

Somiglianze tra Covarianza e Correlazione

La covarianza vs correlazione ha sicuramente diverse differenze, ma hanno anche delle somiglianze. Alcune delle somiglianze sono le seguenti:

Indicatori della Relazione tra Variabili

La correlazione e la covarianza misurano entrambe solo la relazione lineare tra le variabili. Ciò significa che se il coefficiente di correlazione è zero, lo sarà anche la covarianza. Anche il cambiamento di posizione non influisce sugli standard di correlazione e covarianza.

La Misura dell’Associazione Lineare

Sia la covarianza che la correlazione sono misure utilizzate per valutare la relazione tra variabili. Offrono chiarezza su come le variabili sono collegate tra loro.

Calcoli Utilizzando le Stesse Variabili

Il calcolo della covarianza e della correlazione richiede entrambi lo stesso insieme di variabili. Richiedono

I calcoli di covarianza e correlazione coinvolgono lo stesso insieme di variabili. Richiedono osservazioni accoppiate delle variabili di interesse per determinare la loro relazione.

Tuttavia, se si tratta di scegliere tra covarianza e correlazione per calcolare la relazione tra le variabili, gli esperti preferiscono sempre la correlazione rispetto alla covarianza perché il cambiamento di scala non influisce sulla correlazione.

Differenze tra Covarianza e Correlazione

Anche se entrambi sono termini statistici, la covarianza e la correlazione differiscono l’una dall’altra su vari aspetti.

Interpretazione e Scala dei Valori

Il cambiamento di scala modifica il valore della covarianza. Un numero più alto nella covarianza significa una dipendenza maggiore. L’interpretazione della covarianza è difficile.

Al contrario, il valore della correlazione rimane invariato al cambiamento di scala. I coefficienti di correlazione variano da -1 a 1, il che consente un’interpretazione più semplice, a differenza della covarianza.

Relazione alle Unità di Misura

Le unità di misura delle variabili influenzano la covarianza, rendendo difficile confrontare i valori di covarianza tra diversi dataset o variabili con unità diverse.

Al contrario, i coefficienti di correlazione non hanno unità e non dipendono dalle unità di misura, consentendo confronti tra variabili con unità diverse.

Standardizzazione e Confronto tra Diversi Dataset

Dato che la Covarianza non ha una standardizzazione, confrontare le covarianze tra diversi dataset è una sfida. Mentre i coefficienti di correlazione sono standardizzati. Pertanto, confrontarli direttamente tra variabili, dataset o contesti è facile.

Robustezza agli Outlier

Gli outlier influenzano enormemente il valore della Covarianza. Di conseguenza, è sensibile alla presenza di outlier. Al contrario, i coefficienti di correlazione offrono uno standard più robusto della relazione tra le variabili, poiché sono meno suscettibili agli outlier.

Utilizzo in Diversi Contesti e Applicazioni

La Covarianza ha applicazioni nei seguenti campi:

Biologia – Molecolare e Genetica per valutare specifici DNA.
Stima dell’importo investito su diversi asset nei mercati finanziari.
Raccolta di dati ottenuti da studi oceanografici/astronomici per trarre conclusioni.
Esame di un dataset con implicazioni logiche dell’elemento principale.
Studio di segnali ottenuti in forme diverse.

D’altra parte, la correlazione ha le seguenti applicazioni:

Utilizzata nel riconoscimento di modelli.
Misura la relazione tra povertà e popolazione.
Analizza l’aumento delle temperature durante l’estate rispetto al consumo di acqua tra i membri della famiglia.
Stima il tempo vs denaro che un cliente ha speso su un sito web di e-commerce online.
Confronta i report di previsioni meteorologiche passate con l’anno corrente.

Per riassumere le differenze, ecco una tabella che devi consultare:

Casi d’Uso ed Esempi

Di seguito sono riportate alcune applicazioni pratiche ed esempi di Covarianza vs Correlazione:

Scenari Pratici in cui è Utile la Covarianza

Ci sono tre scenari pratici in cui la Covarianza risulta utile:

Ricerca di Mercato: La Covarianza viene utilizzata nella ricerca di mercato per analizzare il collegamento tra variabili, come il fatturato delle vendite e la spesa pubblicitaria, al fine di comprendere l’influenza degli sforzi di marketing sui risultati aziendali.
Valutazione del Rischio: La Covarianza aiuta nella gestione del rischio e nella valutazione del rischio. Ad esempio, nell’assicurazione, la Covarianza può aiutare a identificare l’associazione tra diverse variabili (come la frequenza dei sinistri, le condizioni di salute e l’età) per valutare le perdite potenziali e stabilire premi adeguati.
Analisi del Portafoglio: La Covarianza ha un’applicazione profonda nella finanza per valutare la relazione tra i rendimenti di diversi asset all’interno di un portafoglio. Una Covarianza positiva significa che gli asset si muoveranno nella stessa direzione, mentre una Covarianza negativa indica che si muoveranno in direzioni opposte. Tali informazioni sono utili per la diversificazione del portafoglio per gestire il rischio.

Scenari Pratici in cui è Utile la Correlazione

Alcuni casi pratici di correlazione includono previsioni, analisi dei dati e ricerca medica.

Previsioni: Le correlazioni aiutano i previsionisti a determinare il grado in cui possono prevedere una variabile in base ai valori di un’altra variabile. Ad esempio, la correlazione nella previsione delle vendite può essere utile per prevedere le vendite future basate sui record di vendite precedenti.
Analisi dei Dati: Gli appassionati di dati utilizzano comunemente la correlazione per quantificare e identificare le relazioni tra le variabili. Ad esempio, nelle scienze sociali, la correlazione può aiutare a determinare il collegamento tra variabili come il livello di istruzione o il reddito, o tra produttività e soddisfazione lavorativa.
Ricerca Medica: Nella ricerca medica, le correlazioni aiutano a trovare associazioni tra variabili, come la correlazione tra il cancro ai polmoni e il fumo o la correlazione tra il rischio di malattie cardiovascolari e l’IMC (indice di massa corporea).

Esempi e Applicazioni del Mondo Reale di Covarianza e Correlazione

Mentre le applicazioni di Covarianza e correlazione sono state descritte in precedenza, alcuni esempi reali sono i seguenti:

Le Covarianze sono ampiamente utilizzate nella finanza e nella teoria moderna del portafoglio. Ad esempio, la Covarianza tra un titolo e il mercato viene utilizzata nel calcolo per una delle variabili chiave del modello, il beta, nel modello di pricing degli asset di capitale (CAPM), che determina il rendimento atteso di un asset.

Nel CAPM, il beta quantifica la volatilità di un asset, o rischio sistemico, rispetto all’intero mercato; è una metrica preziosa che utilizza la Covarianza per determinare l’esposizione al rischio di un investitore particolare a un singolo investimento.

Esempi di correlazione includono il tempo trascorso a correre rispetto al grasso corporeo. Più tempo una persona trascorre a fare jogging, meno grasso corporeo ha. In altre parole, esiste una relazione negativa tra il tempo di corsa e il grasso corporeo. Il grasso corporeo diminuisce all’aumentare del tempo di corsa.

Un altro esempio include il peso corporeo rispetto all’altezza. La relazione tra la dimensione e il peso di un individuo è di solito positiva. In altre parole, le persone più alte tendono a pesare di più.

Punti da considerare nella scelta tra covarianza e correlazione

Prima di concludere o scegliere tra covarianza e correlazione, è necessario tenere presente quanto segue:

1. Considerazioni per la domanda di ricerca o l’obiettivo

Focalizzati sulle tue esigenze. Quello che scegli deve essere in linea con l’obiettivo specifico o la domanda di ricerca. Se hai intenzione di stimare la direzione e la forza dell’associazione lineare tra le variabili, allora sarà saggio selezionare la correlazione. Tuttavia, se desideri misurare l’entità di una relazione senza interpretazione, opta per la covarianza.

2. Natura delle variabili e assunzioni sottostanti

Il punto successivo da considerare è la natura delle variabili che stai esaminando e le assunzioni per ciascuna misura. La correlazione non ha unità di misura; è senza unità e rappresenta un’associazione lineare tra le variabili. Tuttavia, la covarianza si concentra sulle unità di base ed è sensibile alla scala.

3. Disponibilità dei dati e scala di misurazione

Non dimenticare di valutare la scala di misurazione della variabile e i dati disponibili. Mentre la covarianza richiede osservazioni accoppiate delle variabili, la correlazione richiede un’assunzione di normalità bivariata e simile.

4. Importanza dell’interpretazione o del confronto standardizzato

Devi analizzare la necessità di confronto o interpretazione standardizzata tra diverse variabili o set di dati. Se il confronto è essenziale, l’intervallo standardizzato della correlazione varia da -1 a 1, consentendo un confronto e un’interpretazione semplici.

5. Applicabilità nell’analisi o nel campo specifico

Devi scegliere un’analisi o un campo di ricerca specifico. Mentre la covarianza è applicabile nella ricerca di mercato, nella valutazione del rischio e nelle finanze, la correlazione viene utilizzata nella previsione, nell’analisi dei dati e nelle scienze sociali.

Conclusione

Comprendere le differenze tra covarianza e correlazione è significativo. La covarianza misura il grado di relazione lineare, mentre la correlazione offre una misura standardizzata che tiene conto anche della direzione e della forza della relazione.

La covarianza rispetto alla correlazione ha diversi motivi di differenziazione, come la standardizzazione, l’interpretazione, la scala, la sensibilità agli outlier e le applicazioni in vari termini. Pur differendo significativamente, condividono anche alcune somiglianze. Sono indicatori della relazione tra le variabili e misure di associazione lineare.

Scegliere una misura appropriata è cruciale. Dovrebbe essere basata su requisiti specifici e sul contesto dell’analisi. La covarianza è utile nella ricerca di mercato, nella valutazione del rischio, nell’analisi del portafoglio e altro ancora. Al contrario, la correlazione è utile nella ricerca medica, nella previsione, nell’analisi dei dati e in altri settori.

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