Differenziabilità di una Funzione Data il suo Grafico
Differenziabilità funzione - Grafico
Considera la funzione:
Il suo grafico è:
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La derivata di una funzione in un punto è la pendenza della tangente alla funzione in quel punto. Per questa funzione, la derivata esiste in tutti i punti x del suo dominio. Ma, questo non è il caso per tutte le funzioni. Ci sono funzioni per cui le derivate non esistono in tutti i punti dei loro domini. In questo articolo, vedremo tre tipi di punti in cui una funzione non avrà una derivata; ovvero, non è differenziabile.
Una funzione è definita formalmente come differenziabile se la sua derivata esiste in tutti i punti x del suo dominio. Cioè, se è possibile calcolare un valore unico in ogni punto del suo dominio, viene chiamata differenziabile.
Una funzione è considerata continua se è possibile disegnarne il grafico senza staccare la matita dalla carta.
Prendiamo in considerazione la funzione f(x) = |x|. È definita come:
Il suo grafico è disegnato come:
Questa è una funzione continua. Disegniamo una tangente in x=0. Può essere disegnata come (la linea rossa è la tangente):
Ma, un’altra tangente può essere disegnata in x=0 come:
Anche questa linea tocca la funzione solo in un punto, ovvero x=0. Quindi, è effettivamente una tangente. Infatti, per questa funzione, sono possibili più tangenti in x=0:
Ciò significa che non c’è un valore univoco per la pendenza della tangente in x=0.
Guardiamo anche i calcoli del limite.
La derivata di f(x) è definita come il valore del seguente limite:
Calcoliamo i limiti unilaterali:
Limite sinistro:
Limite destro:
Limite sinistro = -1 e limite destro = 1. Non sono uguali. Quindi, non c’è un valore unico per il limite e quindi non esiste. Quindi, f(x) = |x| non è differenziabile in x=0. Questo tipo di funzione si dice avere un angolo (detto anche cuspide o una curva brusca). Un esempio di grafico di una tale funzione è:
Questa funzione ha un angolo in x=a.
Una funzione discontinua come quella mostrata di seguito è anche non differenziabile nel punto di discontinuità perché i limiti sinistro e destro sono discordi:
Nota:
- Il punto in cui una funzione assume un valore di infinito è chiamato anche discontinuità.
- Quando il valore della funzione è un singolo punto, anche quello è una discontinuità, come mostrato di seguito. Questa funzione ha un valore di singolo punto di 2 in x=a:
Una funzione è non differenziabile nel punto in cui la retta tangente è verticale perché, in quel punto, la tangente ha una pendenza non definita (infinito). Un esempio di tale funzione è mostrato di seguito (la linea rossa è la tangente in x=a):
Quindi ci sono tre tipi di punti in cui una funzione non è differenziabile:
- angolo (o cuspide o svolta brusca)
- discontinuità (salto, infinito, punto)
- tangente verticale (la pendenza è non definita)
Quali sono i punti in cui la seguente funzione non è differenziabile?
I punti sono:
- angoli -> -3
- discontinuità -> -10, 1, 4
- tangente verticale -> -8
