Una panoramica dell’algebra lineare La misura di una mappa – determinante

Una panoramica sull'algebra lineare La misura di una mappa - il determinante

Immagine creata con midjourney

Questo è il secondo capitolo del libro in corso di sviluppo sull’algebra lineare, “Una panoramica sull’algebra lineare”. La tabella dei contenuti finora:

  1. Capitolo-1: Le basi
  2. Capitolo-2: (Corrente) La misura di una mappa – determinanti

L’algebra lineare è lo strumento delle molte dimensioni. Non importa cosa stiate facendo, appena passate a n dimensioni, l’algebra lineare entra in gioco.

Nel capitolo precedente, abbiamo descritto le mappe lineari astratte. In questo, ci metteremo le mani in pasta e inizieremo a lavorare sulle matrici. Considerazioni pratiche come la stabilità numerica, algoritmi efficienti, ecc. verranno esplorate.

I) Come quantificare una mappa lineare?

Abbiamo discusso nel capitolo precedente il concetto di spazi vettoriali (basati principalmente su collezioni n-dimensionali di numeri, e più genericamente collezioni di campi) e mappe lineari che operano su due di questi spazi vettoriali, prendendo oggetti da uno all’altro.

Come esempio di questo tipo di mappe, uno spazio vettoriale potrebbe essere la superficie del pianeta su cui ti trovi e l’altro potrebbe essere la superficie del tavolo su cui ti siedi. Le mappe letterali del mondo sono anche mappe in questo senso poiché “mappano” ogni punto sulla superficie della Terra a un punto su carta o sulla superficie di un tavolo, anche se non sono mappe lineari poiché non preservano le aree relative (per esempio, la Groenlandia appare molto più grande di quanto non sia in alcune proiezioni).

Una vera mappa della superficie della Terra è anche una mappa nel senso dell'algebra lineare, ma non è una mappa lineare. Immagine creata con midjourney.

Una volta scelto una base per lo spazio vettoriale (una collezione di n vettori “indipendenti” nello spazio; in generale potrebbero esserci scelte infinite), a ogni mappa lineare su tale spazio vettoriale vengono assegnate matrici uniche.

Per il momento, limitiamoci a considerare mappe che prendono vettori da uno spazio n-dimensionale e li riportano allo stesso spazio n-dimensionale (generalizzeremo in seguito). Le matrici corrispondenti a queste mappe lineari sono n x n (vedere sezione III del capitolo 1). Potrebbe essere utile “quantificare” una tale mappa lineare, esprimere il suo effetto sul vettore…